Los problemas de tipo aditivo: composición de medidas.
Hurgando en algunos textos enfocados en el estudio y análisis de
problemas que impliquen el uso de la adición (y sustracción) para encontrar su
solución, me encuentro información que confrontada nos lleva a la una misma
fuente, a la teoría que plasma en su libro El niño, las matemática y la
realidad, escrito por Gérard Vergnaud en el capítulo Los problemas de
tipo aditivo, nos muestra las seis categorías de relaciones aditivas que se
presentan cuando se plantean problemas a los niños en la escuela primaria. De
manera somera, en un blog anterior inicié el tema que
es retomado con el afán de mostrar más información al respecto.
En este trabajo se centrará en la primera categoría y sus dos tipos de
planteamientos que se presentan. Primero, es necesario señalar que Terezinha
Nunes y Peter Bryant en su texto Las matemáticas y su aplicación: la
perspectiva del niño, cuenta con interesantes planteamientos aunque estos
autores dicen en el libro difieren en algunos aspectos pero que aquí no se tratarán,
sino que se contrastarán las aportaciones.
La
primera categoría enunciada por Vergnaud es: dos medidas se componen para dar lugar a otra medida, y aclara que
todas las relaciones aditivas son a la vez relaciones ternarias, esto es cuando
tres elementos se relacionan entre sí… y por tanto en las adiciones puede haber
diversas estructuras que surgen de los planteamientos. Entonces en esa relación
de la primera categoría intervienen únicamente medidas y el resultado es por
tanto otra medida. Es pertinente recordar que sólo los números naturales pueden
representar una medida y en los esquemas se representará con un rectángulo. 
Aquí
es primordial acudir a las aportaciones de Nunes y Bryant quienes investigaron
al respecto con niños de los primeros grados y de preescolar en Brasil. Las coincidencias
con Vergnaud son los que ellos llaman situaciones parte-todo donde no opera ninguna trasformación, sino que las
medidas son parte de un mismo universo y no se necesita hacer alguna trasformación que es característica que
se observa a partir de la segunda categoría y que en este trabajo no se
analizará. A los problemas o situaciones que se pueden representar en esta categoría fue llamada los números como medidas estáticas y coincide que se puede plantear dos formas de problemas, la primera donde se mencionen las (dos) partes y se pide que encuentre el todo como respuesta y la segunda donde se les dice el todo y un dato de una parte para que encuentre la respuesta en el segundo dato de la parte.
En
los problemas es común emplear cantidades continúas y es fácil reconocerlas
como medidas, pero también las cantidades discretas o paquetes que conforman un
conjunto son medidas que nos permiten encontrar o conocer el tamaño de dicha
colección. Juan Miguel Belmonte Gómez en el quinto capítulo del libro Didáctica de las matemáticas se adentra en el estudio de los problemas aditivos y sustractivos. Llamó a esta categoría problemas de composición de medidas, en los ejemplos que Nunes y Bryant se ejemplifican esa relación parte todo con elementos homogéneos, es decir, la medida 1 y la medida 2 son elementos iguales que únicamente cambia una característica ya sea el color o tamaño pero siguen perteneciendo a una misma campo y Belmonte agrega que en esta categoría se pueden incluir en los problemas elementos heterogéneos y que en el resultado se agregue el hiperónimo del conjunto. Ejemplo de homogeneidad: medida 1 X peces verdes, medida 2 X peces naranjas… da lugar a un todo donde se emplee la palabra peces en el resultado. Ejemplo de heterogeneidad: medida 1 X guajolotes, medida 2 X caballos… da lugar a un todo donde al resultado se añade la palabra animales.
Entonces
estamos de acuerdo a la primera categoría se puede encontrar dos tipos de problematización,
y es la forma más común de plantear desafíos a los alumnos… de allí la
importancia que el docente conozca y trabaje este tipo de problemas donde se
implica sólo el uso de números que representan medidas y no requiere
trasformaciones, con madurez poco a poco introducir estrategias sustractivas pero
siempre empleando elementos gráficos acompañado posteriormente del uso de
operaciones. Se ejemplifica con problemas donde se usan números pequeños sólo
para entender la mecánica que debe llevar a apropiarse de los conceptos y procesos
donde se emplean MEDIDAS.
1.
Problemas donde la respuesta a la
pregunta es el resultado (EL TODO) de
la suma de dos medidas (primer tipo de la categoría 1)
·
En una pecera hay 7 peces naranjas y 6
peces verdes, ¿cuántos peces hay en la pecera?
·
Dentro de un corral se encuentran 7
guajolotes y 6 caballos, ¿qué cantidad de animales hay en el corral?
En este primer tipo de
preguntas están claramente establecidas las medidas y por supuesto se observa
que son contables, su resultado también es una medida, se cumple la ley de
composición que es la adición de dos números naturales… dos números que
representa algo contable y cuyo resultado los aglutina… 13 peces o 13 animales;
peces naranjas + peces verde = peces y
guajolotes + caballos = animales. Belmonte dice que es el tipo de problemas que
se les presenta casi siempre por primera vez a los niños, pero
desafortunadamente al aplicarles un ejercicio por lo regular se incluyen o
plantean situaciones donde necesariamente deba realizar transformaciones sin
antes haberlas trabajado.
2. Problemas donde la respuesta a la pregunta es el resultado (UNA PARTE DEL TODO) de la suma de dos
medidas (segundo tipo de la categoría 1)
·
De
los 32 miembros de mi familia que viven en La Comarca, a 18 miembros les gusta
el fútbol y le van al Santos y el resto el béisbol y apoyan a Vaqueros, ¿qué
cantidad de miembros les gusta el béisbol y apoya a Vaqueros?
Comprender
que se trata de un todo o universo donde hay dos grupos o partes es la parte
primera que se debe entender en el planteamiento, de allí pasar a buscar la
solución representando a cada miembro en su respectivo grupo… con bloques físicos,
figuras, piedras o cualquier material; posteriormente el uso de la operación. La
forma más económica para un adulto o alumno avanzado es realizar una
sustracción, pero es importante trabajar la adicción y que la resta sea un
descubrimiento inducido por el maestro, es decir, sabemos que la respuesta
rápida y deseable sería una resta (32 – 18 = x), pero lo adecuado primero es una adición
con huecos como dice J. Miguel Belmonte (18 + x = 32) para que averigüen mediante
representaciones. La resta sería cuando ya se domina el proceso y se comprende la relación que existe con la suma.
Como
ya se mencionó, si el alumno acompañado del docente trabaja y comprende las dos posibilidades donde consigue
la respuesta al leer un desafío que se trata de problemas de tipo aditivo de la
categoría uno, entonces podrá aumentarle la complejidad de acuerdo a su
grado.
Espero
sea de utilidad la información plasmada en el presente trabajo.
